[2009개정 6학년 1학기 수학] 2. 분수와 소수의 나눗셈 05-06 (1)
2. 분수와 소수의 나눗셈
04 분수의 나눗셈 계산원리 - (분자)÷(분자)로 풀기
지난 시간까지 나눗셈의 의미를 이해하고, 나눗셈의 의미가 담긴 문제를 만들어보면서 나눗셈에 조금 더 익숙해질 수 있는 활동을 진행하였습니다. 이를 토대로 본격적인 분수와 소수의 나눗셈 풀이 방법을 익혀보는 교수-학습 과정을 진행하였습니다.
가장 먼저 제시한 문제는,
2 나누기 3분의 1을 어떻게 푸는가, 라고 물어보면 많은 아이들은 2 곱하기 3으로 푼다고 큰소리로 대답한다고 말합니다. 그러면 묻습니다. 왜? 왜? 왜?
그러면 아이들은, 그렇게 배웠으니까요, 라고 답합니다. 그래서 설명을 해줍니다. 아래처럼 말이죠.
가만보면, 2 나누기 3분의 1을 그림으로 표현해도 3등분씩 두 더미가 되고, 2 곱하기 3을 해도 두 더미 속에 세 개 씩 들어 있습니다. 그래서 2 나누기 3분의 1은 2 곱하기 3으로 고쳐서 풀 수 있게 되는 것입니다.
이를 우리 교과(용 도)서에서는 위와 같이 설명하고 있습니다. 절차 복잡한 과정을 거쳐서, 2 나누기 3분의 1은 2 곱하기 3이 되는 셈이죠.
알고리즘은 이런 복잡다단한 과정을 단순하게 압축한 것입니다. 가장 대표적인 알고리즘으로 사용되는 식인 근의 공식을 생각해보면 더 명확하게 알 수 있습니다. 근의 공식을 유도하는 식은 복잡다단할 따름이지만, 우리는 앞뒤전후 다 자르고 외워서 사용합니다.
그렇게 생각하면, 그냥 외워서 쓰면 되지, 왜 굳이 그 과정을 설명하는가 싶습니다. 그러나 암기라는 것은 그렇습니다.
암기는 언제라도 기억 속에서 왜곡되어 변형될 수 있는 것.
특히 초등학생같이 발달 도상에 있는 아이들은 더할 것입니다. 기억의 왜곡은, 영어 스펠링을 써보면 명확하게 드러납니다. 분명히 너무 익숙한 스펠인데, 막상 쓰려면 애매모호 아리까리 한 것. 그래서 영어 스펠링은 문맥 속에서 맥락과 함께 익히라고 설명합니다. 기억의 왜곡을 잡아줄 수 있는 장치를 두는 것이죠. 아마, 수학 교과(용 도)서에서 이와 같이 알고리즘이 나오는 모양을 애써서 잡아주는 것은, 그리고 근의 공식을 다만 외우게 시키지 않고 유도 과정을 중시하는 것은, 기억의 왜곡을 막기 위해서일 것입니다.
그러나 생각해보면, 굳이 이 단순한 알고리즘을 이렇게 복잡다단한 과정으로 설명할 필요가 무엇인가, 오히려 아이들을 더 헷갈리게 할 수도 있지 않은가라는 의문도 가지게 됩니다. 저도 그런 의문을 가지게 되었습니다. 벌써 6학년 담임으로 분수의 나눗셈을 가르쳐온지 어언 6년째. 굳이 이런 복잡다단한 과정을 아이들에게 굳이 안내해가면서 알려줄 필요가 있을까라는 의문을 서서히 가져가고 있습니다. 그냥 외우면 되는데, 굳이 잊어버리지도, 헷갈릴리도 없을만큼 간단한 식인데다가, 오히려 과정이 더 복잡해서 아이들의 암기 회로를 교란시키지는 않는가라는 의문. 그럼에도 불구하고,
수학은 과정이 있는 학문이다,
라는 것을 알려주기 위해서라도 이런 과정을 설명하는 것이 옳다고 생각하고 있습니다. 수학은, 식과 답만 있는 학문이 아닙니다. 수학은 그 중간에 자리잡은 과정 속에서 사유가 일어나며, 그러한 사유를 통해 사고의 전후가 일목요연하게 정리되는 정합성을 획득할 수 있기 때문에, 이러한 과정의 안내는 반드시 필요하다는 나름대로의 결론을 얻게 되었습니다. 어쨌든, 위의 알고리즘이 나오는 과정을 안내한 후, 다음 문제를 제시합니다.
같은 과정으로, 설명할 수 있습니다. 6분의 5 나누기 6분의 1은, 위의 2 나누기 3분의 1처럼 같은 형태의 그림으로 설명할 수 있습니다. 문제는 다르지만, 문제를 해결하는 과정은 같게 볼 수 있습니다. 그래서 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.
이것을 알고리즘으로 나타내면, 다음과 같습니다.
(분모가 같은 분수의 나눗셈 식)=(분자)÷(분자)
위의 과정을 통해 학생들은 분수의 나눗셈 식을 푸는 한 가지 알고리즘을 획득하게 됩니다. 분모가 같은 분수의 나눗셈 식은 분모를 없앤 후 (분자)÷(분자)로 고쳐서 그 문제를 해결하게 됩니다.
그렇다면, 분모가 다른 분수의 나눗셈인 아래,
5분의 4 나누기 15분의 4는 어떻게 풀어야 할까요? 우리가 알고 있는 분수의 나눗셈 풀이는, 분모가 같을 때의 풀이가 있습니다. 아이들에게 이 부분을 상기시켜주면, 아이들은 분모를 같게 만든다고 말합니다.
분모가 다른 나눗셈은, 분모가 같은 나눗셈을 만든 후 이후의 과정을 따라가면 됩니다.
그렇다면, 대분수가 들어있는 분수의 나눗셈은 어떻게 풀까요?
대분수는 엄밀하게 말하면 수학적으로 표현한 수는 아닙니다. 대분수는 초등학교 과정까지만 다루는 수이며, 아이들로 하여금 분수가 가진 수의 크기만큼을 짐작하게 하기 위해서 임의로 만든 표현입니다. 그래서 중학교에 들어가서 본격적으로 대수를 배우면 대분수는 더이상 사용되지 않습니다.
예컨대, 8분의 25가 대략 어느 수쯤 되는지 중학교 이상의 아이들은 쉽게 알 수 있지만, 초등학교 아이들은 이를 3과 8분의 1로 바꾸고 나서야 3보다 조금 큰 수임을 알 수 있다는 것이죠. 그래서 대분수를 배우지만, 대분수에 대해서 대부분 강조하지도 않고, 이해시키려고 하지도 않는 듯 합니다. 어쨌든, 대분수는 그 자체로는 풀 수 없습니다. 반드시 가분수 형태로 고친 후에 연산을 해야합니다.
대분수를 가분수로 고치고 나면, 그 다음에 다시 위의 두 가지 경우 중 하나가 됨을 볼 수 있습니다. 분모가 다른 분수의 나눗셈, 혹은 분모가 같은 분수의 나눗셈.
위의 문제처럼 자연수가 속해있는 분수의 나눗셈도, 결국은 분모가 같은 분수의 나눗셈으로 풀기 위하여 자연수를 분수로 고칠 수 있습니다.
이 부근에서 한 번, 자연수를 분수로 고치는 방법도 안내해 주어야 할 필요가 있습니다. 어떤 아이들은 모르기도 하거든요.
여기까지 한 후에, 이 시간 배운 내용을 주욱 정리합니다.
문제를 해결해 가는 과정.
알고리즘의 정리.
결국, 분수의 나눗셈도 거대한 알고리즘의 하나라고 할 수 있습니다. 문제는 크게 네 가지 형태. 모든 문제 형태는 분모가 같은 분수의 나눗셈 풀이로 수렴합니다.
아래는 아이들의 배움일지 중 일부.
한 시간 조금 넘게 한 수업을 마치고, 남은 시간 동안 분수의 나눗셈을 푸는 또 다른 방법을 함께 공부하였습니다.
아에드 인 마이오렘 델 글로인
