[2009개정 6학년 1학기 수학] 2. 분수와 소수의 나눗셈 14-15
KimTeacHer
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2018.07.01 22:30
2. 분수와 소수의 나눗셈
10 (자연수)÷(소수)의 계산(+어림)
(자연수)÷(소수)는 앞선 파트와는 다른 부분을 가지고 있습니다. 나누어 지는 수(피제수)가 자연수인 부분이 다릅니다. 아마도 교과(용 도)서를 집필하는 분들은 이 부분이 별도로 다루어져야 한다고 생각했는지도 모르겠습니다. 결국 소수의 나눗셈 연산에서 다루어지는 부분은
1) (소수 한 자리 수)÷(소수 한 자리 수)
2) (소수 두 자리 수)÷(소수 두 자리 수)
3) (소수)÷(소수) - (소수 두 자리 수)÷(소수 한 자리 수)의 상황이 다루어집니다.
4) (자연수)÷(소수)
로 나눌 수 있습니다. 그러나 살짝 고개를 갸우뚱합니다. 결국 소수 나눗셈에서의 핵심은, 나누는 수(제수)가 소수인 부분입니다. 나누는 수가 소수이면, 소수 나눗셈에서는 예의 그 소수점 옮기기가 가미된 알고리즘 이용 방식이 사용됩니다. 결국 위 네 가지 문제는 모두 나누는 수의 소수점을 옮기는 것으로 문제를 해결하게 됩니다.
만약, 소수 나눗셈 알고리즘에서 소수점을 옮기는 것의 원리를 분수 나눗셈을 통해 이해시키고 싶었다면, 1)만 있어도 상관 없습니다. 굳이 분모를 10의 거듭제곱으로 통분하는 것을 네 차례나 보여줄 필요는 없습니다.
차라리 아이들 중에는 14를 140 분의 10으로, 3.5를 10분의 35로 나타내는 것 자체를 못하는 아이들이 더 있습니다. 나눗셈 알고리즘에서 소수점을 왜 옮기는지 이해시키려고 하다가, 왜 분모에 갑자기 10이 생기는지에 대한 어려움을 느끼는 아이들이 더 깊은 수렁에 빠지곤 합니다. 네 시간 동안 해야하는 교수-학습 과정을 차라리,
1) 자연수의 나눗셈
2) 십진기수법의 이해
3) (소수)÷(소수) 문제를 풀기 위해 세로셈 알고리즘에서 소수점을 옮길 수 있는 까닭을 두 가지로 배우기
가. 분수 나눗셈으로 고친 후 (분자)÷(분자) 하여 자연수 나눗셈으로 푼다
나. 단위를 이용하여 수를 변환하여 자연수 나눗셈으로 푼다
4) (소수)÷(소수)의 다양한 문제 계산해보기
로 바꾸어 운영하는 것이 아이들의 이해를 도울 수 있지 않을까라는 생각을 해보게 됩니다.
수학 교과를 교수하다보면 앞선 학년에서 배운 내용을 모두가 완벽하게 마스터했을 것이라고 여기고 교과(용 도)서를 집필하지 않았나 싶기도 합니다. 십진기수법 같은 것은 너무 자연스레 습득하였지만 그 원리나 사용례는 고등학교 수학에까지 영향을 미치므로, 계속 확인해주고 이해를 심화시켜주어야 합니다. 교과(용 도)서 편찬 과정 혹은 개별 교사의 교수-학습 과정에서 그런 부분도 좀 고려되었으면 좋겠다고 생각하고 있습니다. 여하튼.
저도 이 부분을 교수-학습 과정을 마친 후에 더 명확하게 생각하였으므로, 내년에는 이렇게 교수할 수 있도록 해볼까 싶습니다. 어쨌든.
아이들과의 문제 상황은,
마법 빗자루를 타고 휘파람을 한 번 불면 3.5km를 날아갈 수 있다고 할 때, 14km를 날아가려면 휘파람을 몇 번 불어야 할까요?
교과(용 도)서의 문제를 가지고 왔습니다.
앞선 수업에서 어떻게 풀어야 좋을지 이야기를 충분히 나누었다고 생각하였기 때문에 다양한 풀이를 이야기해보도록 하였습니다.
분수로 고쳐서 풀기, 세로셈 알고리즘을 이용해서 소수점 옮겨 풀기, 한 번 두 번 빼기, 단위를 m로 고친 후 자연수 나눗셈으로 바꾸어 풀기 등등. 많은 풀이가 나왔습니다.
내친 김에, 어림 문제도 다루었습니다.
우리 교과(용 도)서가 아주 잘 했다고 생각한 부분은 바로 어림에 대한 부분입니다. 어림은 나의 풀이 과정을 메타인지적으로 살펴보는 것을 일컫습니다. 언제 유용하게 쓰이냐하면, 뻔한 계산식인데 답이 이상하게 나올 경우에 그 이상함을 느끼고 자신의 풀이를 되짚어보도록 할 때 유용합니다.
2009 개정 교육과정 아래의 교과(용 도)서에 아래와 같은 문제가 있었습니다.
금 3과 4분의 3g으로 금반지 한 개를 만들 수 있다고 합니다. 금 60g으로 만들 수 있는 금반지의 개수는?
2014년도의 아이들과 이 문제를 풀었을 때, 서른 명 중 딱 여섯 명이 답을 16분의 1로 적었더랬습니다.
16분의 1. 금반지의 개수를 구하는 문제인데, 금은 60g으로 만드는데, 어떻게 답이 16분의 1이 나올까요? 소수 나눗셈 문제를 풀 때 기계적으로 앞 수인 3과 4분의 3에서 뒷 수인 60을 나누어 푸는 것이죠. 분수 나눗셈에서 뒷수를 역수로 바꾼 후 약분하고 나니 깔끔하게 나오는 16분의 1. 그리고 문제의 맥락도 충분히 소화하지 못한 상태에서 답이 주는 잡음에 귀기울이지 못하고 다음 문제로 향하기에 급급한, 그런 학생들에게 바로 어림이 필요합니다.
사실 대부분의 아이들이 문제를 해결하는 과정에서 느끼는 잡음을 다 알아차립니다. 뭔가 틀리고 있는데, 그 잡음에 귀기울일 여지도 없이 아이들을 바쁘게 몰아치면, 아이들은 그냥 넘기고 맙니다. 점점 그런 잡음에 둔감해지고, 함정 문제에 낚이고, 계속되는 오답에 아이들의 흥미는 당연히 떨어지고 맙니다.
그래서 어림에 대해서 강조할 필요가 있기는 한데... 교수-학습 과정을 진행해보니, 메타인지적으로 접근하면 아직 초등학생들은 쉽게 받아들이지 못합니다. 너희는 이래서 틀리고 저래서 틀리고, 이걸 잘 못하고, 저걸 실수하는 경향이 있어, 같은 교수-학습 과정을 버거워하는 아이들이 있습니다. 그래서 어림에 대한 강조는,
1) 틀릴 가능성을 조금이라도 줄여주는 습관이고,
2) 내가 구할 수 있는 답의 방향을 대강 보여주는 방법이다.
정도면 좋을 듯 싶습니다. 교과(용 도)서 문제는 그런 의미에서 조금 아쉬운데, 아이들은 대부분 어림하기 보다는 그냥 풀어버리기 때문에 어림의 의미를 강조하여 안내하기에 어려움이 있습니다.
아래는 학생들의 배움일지 중 일부.
다음 시간에는 소수 나눗셈 풀이 중 특수한 경우인, 더 이상 나누지 않고 나머지를 구하는 경우와 몫을 구하는 도중에 어느 시점에선가 반올림하여 구하는 경우를 공부하기로 하였습니다.
아에드 인 마이오렘 델 글로인