[2009개정 6학년 1학기 수학] 2. 분수와 소수의 나눗셈 16
2. 분수와 소수의 나눗셈
11 소수 나눗셈의 나머지 구하기
지난 네 시간에 걸쳐서,
1) 자연수의 나눗셈(과 분수의 통분, 약분)
2) 소수의 나눗셈을 푸는 방법 - 세로셈 알고리즘에서 소수점 옮기기
3) (자연수)÷(소수)의 풀이와 어림
을 배우고 관련 문제들을 풀어보았습니다.
이렇게 소수 나눗셈의 일반적인 문제들을 풀고 나면, 우리 교과(용 도)서에서는 특수한 소수 나눗셈 풀이로
1) 몫을 자연수까지만 구하고 나머지 구하기
2) 나누어 떨어지지 않는 수의 몫을 어느 선에서 반올림하여 표현하기
를 더하여 배웁니다.
소수 나눗셈이 힘들어지는 부분이 바로 이 지점에서가 아닐까 싶습니다. 간신히 소수 나눗셈의 세로셈 알고리즘 풀이에서 소수점을 왜 옮기는지 이해시켰는데, 한 발 더 나아가 나누어 떨어지지 않는 소수 나눗셈 문제를 통하여 아이들에게 자신의 풀이 과정을 한 차원 높은 수준에서 바라보도록 하고 있기 때문입니다.
소수 나눗셈이 어려운 까닭은, 분수 나눗셈과는 달리 몫을 나타내는 방법이 다양하기 때문일 것입니다. 분수 나눗셈은 곱셈식으로 바꾼 다음에는 그 값을 그냥 분수로 나타내어도 상관이 없습니다. 그런데 소수 나눗셈은 몫이 표현되는 부분이,
1) 자연수 범위에서 몫이 나누어 떨어지는 경우,
2) 소수 범위에서 몫이 나누어 떨어지는 경우,
3) 몫이 나누어 떨어지지 않는 경우,
로 각각 다릅니다. 거기에 교과(용 도)서에서는 몫을 자연수 범위 까지만 구하고 나머지를 별도로 구하는 범주까지 다루고 있는 셈이죠.
이렇게 복잡다단한 범주를 가진 소수 나눗셈은, 그러나 실제로 중고등학교 과정에서는 잘 사용되지 않습니다. 가만 생각해보면... 대부분의 연산식은 분수를 사용하여 계산하고 그 값도 분수로 그냥 표현합니다. 소수 나눗셈을 사용하는 수학 범위를 생각해보면... 없죠. 다 분수식으로 해결하죠.
그런데, 지난 2007 개정 교육과정에서는 소수 나눗셈에서 몫이 소수 범위에서 나누어 떨어지지 않는 경우, 몫을 정해진 소수 자릿수까지 구한 후 나머지를 구하는 것까지 다룬 바 있습니다. 소수 나눗셈에서 세로셈 알고리즘을 사용할 때 소수점을 옮겨 푸는 방식에서 주의하여야 할 부분이 바로 나머지가 왜곡된다는 것을 들 수 있습니다. 소수점을 옮겨 풀지만, 실제로는 계산의 편의를 위한 것이지 수 자체의 의미는 다르기 때문에 주의해야하는데 그게 드러나는 지점이 바로 나머지가 나올 때입니다. 그래서 소수점을 옮겨 풀지만, 나머지를 표현할 때에는 옮기지 전의 소수점 위치로 표현해야 합니다. 어쨌든, 2009 개정 교육과정에서는 이 부분이 빠졌지만, 여전히 소수 나눗셈은 아이들을 힘들게 만드는 부분이 많음에는 분명해 보입니다.
아이들에게 제시한 오늘의 문제는,
마법수프 11.5L를 한 병에 3L씩 병에 옮겨 담을 때, 옮겨담은 후 남은 수프의 양은?
이었습니다. 11.5를 3으로 나눈 후, 몫을 자연수 범위까지 구하고 나머지를 소수점을 사용해서 표현하는 문제인데, 이런 문제는 나누는 수(제수)가 자연수이므로 소수점을 옮길 필요 없이 세로셈 알고리즘을 사용하면 되는 문제입니다.
교수-학습 과정에서 강조한 사항은,
1. 문제를 해결하기 위하여 문제의 의미를 곱씹고 필요한 개념을 뽑아내기
실제로 앞선 네 시간과는 다르게, 소수 나눗셈이지만 풀 때 소수점을 옮기지 않아도 된다는 것을 알아차리는게 중요하다는 이야기를 하였습니다. 소수만 보이면 무턱대고 소수점을 옮기고 보는데, 문제가 가진 의미를 파악하면 그럴 필요가 없는 것이죠.
2. 활용 예시 문제 제시
많이 나오는 유형의 문제인데, 기본 문제를 다음과 같이 변형하여,
마법수프 11.5L를 2L들이 병에 3L씩 나누어 담아 이를 나누어 줄 때, 2L들이 병은 몇 개 필요한가?
를 풀어보도록 하기도 하였습니다. 2L 들이 병에 3L를 모두 담을 수 없으므로 병이 두 개 필요한데, 이 때 2L 들이 병을 각가 2L, 1L씩 나누어 담거나, 1.5L, 1.5L씩 나누어 담거나, 혹은 1.7L, 1.3L씩 나누어 담거나, 다르게 나누어 담거나 전혀 중요하지 않은 그런 상황입니다. 병은 총 4L의 공간을 가지고 있지만, 우리가 옮겨담는 양은 3L뿐이니, 양으로 생각해야 하는 문제가 아니라 양을 개수로 바꾸어 생각해야 하는 문제이므로, 어린이들에게는 쉽지 않은 문제가 됩니다. 한 번 쯤 생각해보자고 문제를 제시하고 같이 생각해 보았습니다. 그리고 유사한 문제가 3단원 말미에 있어서 그것도 고려하여 아이들과 이야기 해 보았습니다.
위의 문제를 풀기 위해, 아이들은 뺄셈의 방식도 사용하였고, 세로셈 알고리즘도 사용하였습니다. (분수)÷(분수)로 푼 아이들도 있습니다. 방법은 다양하지만, 아이들이 사용하는 방법은 모두 소수 나눗셈 문제를 푸는데 적합한 방법이므로, 아이들에게는 문제 해결 방법에만 치우친 교수-학습 과정이 아닌, 문제의 의미와 그에 관련된 수학적 개념을 생각해보는 교수-학습 과정이 될 수 있으리라 의도하였습니다.
아래는 학생들의 배움일지 정리.
다음 시간에는 나누어 떨어지지 않는 몫을 반올림하여 구하는 부분을 배우기로 하였습니다. 이렇게 4월까지의 수업이 끝나고, 열흘 간의 5월 초 단기방학에 돌입하였습니다.
아에드 인 마이오렘 델 글로인
