[512] 05. 공간과 입체 프로젝트 2
공간과 입체
6학년 2학기 수학 3단원 배움 이야기 (2)
4, 5차시. 교실 배움. 우리 마을 만들기
지난 시간까지는 '나의 라보카', '나의 미니빌', '나의 루미스' 활동을 통해 공간과 입체 단원에서 쌓기나무의 위상을 파악하는 세 가지 방법을 비구조화된 방법으로 배워 보았습니다. 이번 시간에는 분절하여 배웠던 방법을 총체적인 상황에서 다시 한 번 확인해 보았습니다.
활동 주제는 '우리 마을 만들기' 였습니다. 지난 시간까지 자신의 집과 자신의 마을을 쌓기나무 블럭으로 꾸며 보았던 어린이들은, 이번 시간에 그 건물 중 하나를 모둠 안으로 가지고 와서 마을에 배치하는 활동을 수행하였습니다.
어린이들을 모둠으로 묶은 후, 마을을 이룰 도로와 교차로 종이를 나누어 주었습니다. 어린이들은 도로와 교차로를 배치한 후 자신의 건물 중에서 우리 마을에 가장 필요한 건물을 도로 옆에 배치하였습니다.
그런 다음, '우리 마을의 주요 건축물 소개'서를 작성하였습니다. 여행지에 가면 흔히 볼 수 있는 것처럼, 우리 마을의 주요 건축물을 소개하고, 앞 모습과 옆 모습을 함께 소개하는 소개서였습니다. 모둠원들끼리 서로의 건축물을 소개하고, 도로 쪽에서 보았을 때 앞에서 본 모습과 옆에서 본 모습을 그려보도록 함으로써 입체의 위상을 파악하는 교과용 도서의 방법 하나를 다시 한 번 확인해 보았습니다.
그런 다음, '항공사진도'를 표시해보게 하였습니다. 항공사진도를 통해 어린이들은 위에서 본 모습으로도 입체의 위상을 확인할 수 있음을 알 수도 있습니다. 앞선 활동과 결합하면, 어린이들은 교과용 도서에서 형식화하여 안내하는 위상의 인식 방법을 비형식화된 형태로 익힐 수 있는 또 한 번의 시간을 갖게 됩니다.
비형식화된 방법이다보니 무엇을 해야할지 잘 모르는 경우들도 있습니다. 이런 어린이들을 위해 활동 후에 다른 어린이들의 결과물을 함께 보았습니다. 최후의 순간까지, 담임 교사 입에서 '이렇게 하는 거야'라는 말이 나오지 않는, 그래서 어린이들 스스로 다양한 결과물을 토대로 자신의 방법을 찾아볼 수 있는 배움을 진행하는게 목표입니다.
이와 같이 우리 마을 만들기 활동을 수행한 후, '건축설계설명서' 작성하기 활동을 가졌습니다. 우리 마을에 여러 건축물이 있지만 기념물은 없는 상황에서, 어린이들은 쌓기나무 기념물을 설계합니다. 설계도에는 누가 보더라도 이 설계물의 형태를 명확하게 알 수 있는 방식이어야 합니다.
조건은,
였는데, 이렇게 하니까 4×4×3 짜리 기념물을 설계한 어린이도 생기고, 앙상한 뼈대만 만들어 바닥면과 층의 최소 조건만 만족하는 어린이도 생겨서,- 바닥면은 4×4 안에 들어가게 한다.
- 층은 3층까지 가능하다.
- 쌓기나무 개수는 20개 이상 35개 이하로 사용한다.
의 조건도 추가하였습니다.
이와 같이 설계설명서를 작성하면서 건물의 용도와 설명도 추가하도록 하였습니다.
작성한 후 결과물을 모둠 안에서 평가하도록 하였습니다. 기준은,
- A: 설명서를 보고 기념물을 지을 수(쌓을 수) 있으면서 기념물에 대한 설명이 구체적인 경우
- B: 설명서를 보고 기념물을 지을 수 있으나 설명이 구체적이지 않은 경우
- C: 설명서를 보고 기념물을 지을 수 없는 경우
물론, 교사에게는 A와 B가 같은 의미이지만, 어린이들에게는 조금 다르게, 약간의 정성(!)을 보탤 장치를 마련하였습니다.
학원에 다니지 않으면서 교실에서만 배우는 어린이들의 결과물은 아래와 같습니다.
다채로운 다양한 수학적 생각들이 발산될 수 있다는게 가장 큰 의미라고 생각합니다. 예컨대, 위 한 어린이는 아이콘 기호를 사용하였습니다. 수 기호로 진입하기 전 단계를 거치는 모습을 볼 수 있었습니다. 이와 같은 표현이 여러 어린이들에게서 드러났습니다.
물론 어떤 어린이들은 배운 것을 스스로 구조화하지 못한 결과물도 드러내고 있습니다. 이 설명서를 토대로 비구조화 된 형태의 안내를 다시 한 번 하여 어린이들이 스스로 구조화 할 수 있는 기회를 최대한 마련할까 합니다.
아래는 이 날 배움에 대한 어린이들의 배움일지 중.
6차시. 교실 배움. 쌓기나무 블록 네 개로 만드는 입체 모양
지난 시간까지 공간과 입체 프로젝트로 비구조화된 활동을 통해 쌓기나무의 위상을 파악하는 활동을 다섯 시간에 걸쳐 수행하였습니다. 이번 시간에는 '쌓기나무 블록 네 개로 만들 수 있는 입체 모양의 개수'를 찾아보는 활동을 수행하였습니다.
조건은 두 가지.
- 개수를 찾으면서
- '겹친 것 없이/빠진 것 없이 구한 것인지 알 수 있는 방법'을 제시하는 것
까지 수행하도록 하였습니다. 혼자하면 어려울 듯 하여, 전날 함께 배드민턴 짝을 이루었던 어린이들끼리 이번 활동도 짝을 이루어 상의하면서 작업해보도록 하였습니다.
교과용 도서에서 제시하는 활동은 쌓기나무 블록 세 개로 만든 두 도형에 블록 하나를 더 붙였을 때 나오는 모양을 구하는 방식으로 입체도형을 파악하도록 하고 있습니다. An을 제시한 뒤, An+1을 구하도록 하는 것인데, 문제 상황을 비구조화한 상황에서 해결해보도록 하고 싶었습니다.
더불어, 개수를 그저 경험적으로 구하도록 하는게 아닌, 일반화할 수 있는 규칙에의 접근을 해 보도록 하고 싶었습니다. 그래서 겹친 것 없이/빠진 것 없이 구한 것인지 알 수 있는 방법을 생각해 보도록 하였습니다.
아래는 제출받은 보고서 중.
두 어린이 정도가 An에서 An+1의 경우를 생각할 수 있다는 아이디어를 제시하였습니다. 그 중 한 어린이는 전개 과정에 오류가 보이지만, 이런 식의 생각을 한 것이 의미있어 보입니다.
어린이 둘은 조금 독특한 표현이나 생각을 드러내었습니다. 위의 형태가 수학적으로 의미있는 표현이라 할 수 있어 보입니다.
나머지 어린이들은 조건에 대한 안내가 있었음에도, 따지고 보면 '빠진 것 없이 잘 만들었다' 수준의 답을 제출하였습니다.
기하학적으로 위상이 같다는 것을 설명하기는 쉽지 않습니다(저도 잘 모릅니다). 결국 경우의 수 형태로 가능한 형태를 구한 후 이것들이 같음을 보임으로써 소거하는 방식으로 안내할 수 밖에 없습니다.
An에서 An+1의 경우를 구하면 위와 같습니다. 이 중, i)의 상황은 쌓기나무 블록을 위에 놓으나 옆에 놓으나 2차원 위상이므로 옆에 놓는 경우만 따지면 되고, ii)의 상황은 기존 블록의 위에 놓는 형태를 고려할 수 있습니다.
다른 구조는 모두 2차원 구조이고, ii)의 ⑧, ⑨, ⑩만 3차원 구조임을 발견할 수 있습니다. 어린이들에게는, ' ii)의 ⑧에 놓았을 때와 ii)의 ⑩에 놓았을 때가 다름을 어떻게 설명할 수 있겠는가?'의 질문을 제시하면서 배움을 마무리 하였습니다. 다음 시간에는 '5개의 쌓기나무 블록으로 만들 수 있는 입체 모양의 개수'를 구할 계획입니다.
7~8차시. 교실 배움. 쌓기나무 블록 네 개로 만드는 입체 모양
지난 시간에는 쌓기나무 블록 네 개로 만들 수 있는 입체 모양의 개수를 구하는 시간을 가졌습니다. 이번 시간에는 쌓기나무 블록 다섯 개로 만들 수 있는 입체 모양의 개수를 구하여 보았습니다.
우선 쌓기나무 블록 네 개로 만들 수 있는 입체 모양의 개수 중 3차원 구조를 구분하는 방법에 대하여 안내하였습니다. 쌓기나무 블록 네 개로 만들 수 있는 도형은, 세 개를 가지고 만든 것에서 한 단계 더 나아가는 것으로 구할 수 있습니다. 쌓기나무 블록 세 개로 만드는 도형은 'I'자 도형과 'L'자 도형이 있습니다.
'I'자 도형에 쌓기나무를 하나 더 붙일 때에는, 윗 방향으로 붙이더라도 결국 2차원 구조나 다름 없습니다. 따라서 'L'자 도형의 윗 방향에 붙일 때에만 3차원 구조가 나옵니다. 이 중, 아래와 같은 두 도형
<그림 출처 - Newton 수학 퍼즐 80: 정육면체를 모아 새로운 입체 도형 만들기 블로그>
은 같은 도형이 아닙니다. 지난 시간을 마무리하면서 '위 두 도형은 왜 같은 도형이 아닌가'를 생각해 보도록 하였지만, 이번 시간 시작하면서 물었을 때 생각을 발표하는 어린이는 없었습니다. 교사는 이를 점대칭으로 확인할 수 있음을 안내하였습니다. 평면도형의 대칭을 확장하여 입체도형의 대칭에도 적용한다면, 두 도형이 같은 도형이 아님을 확인할 수 있습니다. 물론, 이 또한 엄밀함은 떨어지며, 이를 공간좌표로 기호화하여 회전체 성질로 파악 - 군? - 한다면 가능하겠지만 - 큐브? - 이는 초등학교 6학년의 배움 내용으로는 차고 넘치므로 일단 혼자만의 탐구 과제로 두기로 해 봅니다.
그래도 어린이 중에는 '점대칭의 성질을 활용하여 확인한다'라는 말을 중요하게 받아들인 경우가 있기도 하였습니다. 어쨌든, 선수학습 과정을 토대로 현재 문제 상황을 원리화 할 수 있다는 아이디어 자체는 중요한 인사이트가 되어줍니다.
이와 같이 지난 시간 배움을 확인한 후, 쌓기나무 다섯 개로 만들 수 있는 입체 모양의 개수를 3인 모둠별로 탐구하여 보고 보고서를 작성해보도록 안내하였습니다.
개수를 맞추는 것은 목표가 아니었던 터, 어린이들이 어떻게 사고할 수 있는지를 확인하는 시간이었고, 지난 시간 활동 이후 사고의 팁을 제시했다 생각했지만... 보고서를 본 결과는 그리 만족스럽지 못했습니다. 입체 모양을 되는대로 그려 놓은 정도의 수준이 너무 많았고, 이런 저런 설명을 덧붙였지만 결국은 '일일이 해 본다'에 머무는 정도의 내용이 나머지의 거의 전부였습니다. 미제출 어린이도 많아... 어떻게 배움을 마무리해야하나 하는 고민이 들었습니다.
모둠별로 담임 교사가 지명한 대표 한 사람이 나와 모둠에서 이야기 나눈 내용을 발표하였고, 다음 시간에는 전반적인 프로젝트의 마무리를 해 보기로 하였습니다.
아래는 배움 제출물 중 의미를 찾을 수 있는 내용.
9차시. 교실 배움. 배움 마무리
지난 시간까지 공간과 입체 프로젝트를 마무리 하면서 전반적인 배움을 정리하였습니다. 어린이들에게, 이번 프로젝트를 통하여 배운 내용을 써 보도록 시간을 주었습니다.
가장 잘 파악한 어린이는 아래 어린이가 아닐까 합니다.
공간과 입체 단원에서 쌓기나무 쌓는 활동을 수행하면서 어린이들이 배우는 것은 단지 공간 감각 만은 아닙니다. 쌓기나무의 쌓은 모양을 다른 사람에게 설명하면서, 우리는 수학적으로 표현하게 됩니다. 교과용 도서에서는 세 가지 방법으로 제시하지만, 이는 공간 감각을 위해서가 아니라 수학적으로 표현하기 위한 것임을 어린이들에게 정리하여 안내하였습니다.
올해 들어 새롭게 써먹는 레파토리가 바로 '수학은 언어'라는 표현입니다. 수학은 복잡하고 다단한 현상을 수리의 의미를 토대로 포착하여 표현하는 법입니다. 우리는 개념과 원리로써 현상 속 수리를 포착하며, 이를 수와 기호가 담긴 식으로 표현합니다. 어린이들은 공간과 입체 단원을 토대로 이를 체화할 기회를 얻게 된 셈입니다.
또한 테트라큐브, 펜타큐브 만드는 방법을 탐구하면서 수학적 사고 중에 분류의 방법이 있음도 배웠습니다. '빠지지 않고', '겹치지 않고' 입체 모양을 구하는 과정에서 어린이들은 분류를 통해 수학의 엄밀함으로 한 발자국 뗄 수 있음을 배울 수 있었습니다.
어린이 하나는, 블록 세 개(트라이큐브), 네 개(테트라큐브), 다섯 개(펜타큐브)로 만들 수 있는 입체 모양을 쌓는 규칙을 찾기 위해 생각에 생각을 거듭하였습니다. 모든 수리 현상을 하나의 일관된 식으로 표현할 수 없다는 것을 알려주었지만, 이런 시도들이 나타났다는 것이 큰 의미를 두고 있으며, 어린이에게 사고 자체가 훌륭하다는 이야기도 덧붙였습니다.
이렇게 프로젝트를 마무리하였지만, 그냥 닫기는 아쉬워서 다음 시간에는 펜타큐브를 찾는 방법을 안내하는 엑스트라 타임을 운영할까 합니다.
아래는 어린이들의 배움 표현.
아에드 인 마이오렘 델 글로인
