[6학년 수학] 6. 나눗셈(05) - 나누는 수가 자연수인 분수의 나눗셈

 

 



단원 첫 머리 네 시간 동안 학생들과 함께 배운 것은 앞선 학년에서 다루었던 내용입니다. 앞선 학년에서는 그것을 분절적으로 다루었지만, 6힉년 ‘나눗셈’이라는 단원 안에서 어떻게 구체화하는지 새롭게 이해할 필요가 있습니다.

 

이상하게도 초등 과정에서 중등 과정으로 올라가는 아이들에 대해, 공교육이든 사교육이든 자꾸 ‘완성형’ 수준을 만들어 올려보내려고 합니다. 그러나 일부 아이들을 제외하고는 이것이 가능하지도 않고, 가당치도 않습니다. 게다가 그 일부 아이들 중 상당수가 중등 과정에 올라가서 지속적으로 문제 상황을 만들어내는 모습을 보면, 지금 이 시점에서 가능하다고 여기는 것은 심각한 착시일지도 모르겠습니다. 사교육이야 불가능할테니, 이제 학교에서라도 다른 방식의 접근이 필요합니다.

 

 

교과용 도서의 6학년 1학기 1단원 분수의 나눗셈 편제는 이런 의미에서 재고의 여지가 있습니다. 교과용 도서 1단원의 차시는 아래와 같습니다.

 

1차시 몫이 1보다 작은 (자연수)÷(자연수)

2차시 몫이 1보다 큰 (자연수)÷(자연수)

3~4차시 (분수)÷(자연수)

    1) 나누는 수인 자연수를 나누어 지는 수인 분수의 분자로 올려 풀기

    2) 나누는 수인 자연수를 역수로 만들어 분수의 곱셈으로 풀기

5차시 (대분수)÷(자연수)

 

이는 아래 교육과정 상의 성취기준을 구현하기 위한 차시 구성입니다.



 

그런데 위 성취기준을 위해 차시(시간)를 저렇게 잘게 나눌 이유가 있을까요? 수학교육학적으로 특별한 근거를 가지고 위와 같이 차시 구성을 한 것일까요? 아마도 집필진에서 이와 같이 성취기준을 풀어낸 듯 한데, 이런 분절적인 차시 구성이 구체적 조작의 사고 아래에 있는 학생들도 배려하는 것이었으면 좋겠습니다. 각설하고.

 

 

그래서 저의 경우, 분수의 나눗셈과 소수의 나눗셈을 하나의 단원으로 묶어내어 충분한 차시를 확보한 후, 그 앞선 시간에는 이전 학년에서 배웠던 개념과 방법을 확인하는 것으로 채워낸 바 있습니다.

 

첫 시간 나눗셈이란?

두 번째 시간 나눗셈 풀이 방법 - 나눗셈의 세로셈 알고리즘

세 번째 시간 나눗셈의 세로셈 알고리즘과 자릿수(십진기수법)

네 번째 시간 나눗셈과 분수

 

이번 시간부터 본격적인 분수의 나눗셈 학습을 시작하였습니다. 지난 시간에 자연수의 나눗셈이 분수와 연결된다는 것을 본 바 있습니다. 그러면서 다양한 자연수의 나눗셈을 분수로 표현한 바 있습니다. 한 학생이 이를 배움일지에 표현해 두었습니다.

 

 

7÷5는, 일곱을 다섯 곳으로 (혹은 다섯 개씩) 나누어 낸다는 의미를 가지고 있습니다. 7을 다섯 등분하여 그 중 한 조각 씩 가져도 되고, 7을 다섯에게 하나씩 나누어 준 후 나머지 둘을 다섯 등분하여 그 중 한 조각 씩 가져도 됩니다. 교과용 도서에서 아래와 같이 설명하고 있습니다. 두 차시동안 말입니다. 



  

저의 경우, 교과용 도서의 이 두 시간을 나눗셈이 분수로 나타내어지는 것을 명확하게 안내하는 시간 한 시간, 이를 명확하게 이해하고 연습하는 시간 한 시간으로 배웠습니다.

 

다섯 번째 시간 자연수의 나눗셈을 해결하는 방법 - 나눗셈의 세로셈 방법 연습 및 분수로 표현하기

 

여담으로 요즘 드는 생각은, 교과용 도서가 차시 분량으로 성취기준을 구현하는 것이 아닌, 초등학교 수준에서는 개념 중심으로 안내하여 교사 재량으로 하나의 개념을 여러 차시동안 이리저리 살펴보도록 구성하는 것은 어떨까 싶은 부분이 있습니다. 일단 이를 목표로 다양하게 탐색하여 볼 생각입니다.

 

 

몫이 1보다 작든지 크든지 자연수의 나눗셈을 조금 다른 방식으로 두 시간 동안 배운 후, 나누어 지는 수(피제수)가 분수인 분수의 나눗셈을 두 시간에 걸쳐 배웠습니다.

 

이전 교육과정과는 달리 2015 개정 교육과정에서 새롭게 들어온 방법은 아래와 같습니다.



 

아마도 아래와 같은 방식의 이해를 염두에 두었을 것이라고 생각합니다.

 

 

그런데 문제는, 아래 같은 풀이 방식입니다. 

 

 

 



학생들이 통분 개념을 얼마나 힘들어하는지 알면서 이런 방식의 풀이를 제시하는 것일까요? 오히려 기존의 방식대로 직사각형의 넓이 모델을 활용한 분수의 역수 개념을 잘 안내하고 형식화하여 기능을 지도하는 것이 학습 부담을 줄이는 것일텐데 말입니다.

더 나아가, 이런 방식의 풀이가 이후 학생들이 배워가는 과정에서 어떤 도움을 받을 수 있는가를 생각해보면... 별 도움이 되지 않는다는 것을 언급하고 싶습니다.

 

개념적으로도, 위의 풀이는 중등에서 다루는 번분수 개념과 통합니다. 이에 대한 글은 앞선 글에서 두드린바 있는 바, 굳이 초등학교 6학년 수준에서 이런 설명을 사용할 필요가 있었을까요?

 

 

그리고 더 안타까운 것은, 기껏 이렇게 한 차시 동안 분수 나눗셈을 안내한 후에는, 바로 다음 차시에서 직사각형 넓이 모델을 활용한 분수 역수 개념으로 설명하고 있다는 것입니다. 사족인 차시가 되었습니다. 뒤이은 개념에 연결되는 것도 아닌 이 방법을 아이들에게 얼마나 안내시키고 연습시켜야 할까요. 그리고 아마 사교육 시장에서는 이를 계속 연습시키겠지요. 공교육 교사들은 이 방법을 굳이 평가할 필요가 있을까요? 성취기준이 요구하는 계산 원리 중, 훨씬 더 범용의 것이 있는데 말입니다.

 

 

저는, ‘교과용 도서에서는 이런 방법으로 해결하기도 하니 알고는 있거라’ 정도로 이야기 한 후, 직사각형 모델을 통하여 제수를 곱하기 분수의 역수로 고쳐 푸는 방법을 세세히 설명하였습니다.

 

그런 다음, (대분수)÷(자연수) 개념까지 내쳐 안내하였습니다.

 

결국 6학년 1학기 분수의 나눗셈을 실제로 해결하기 위한 과정은,

 

여섯 번째 시간 나누어 주는 수(피제수)를,

    1) 도식이 같음을 이용하여 분자에서 나누는 방식

    2) 직사각형 넓이 모델을 이용하여 곱하기 분수의 역수로 바꾸어 분수의 곱셈으로 푸는 방식

일곱 번째 시간 풀이는 대분수를 가분수로 고친 후 위 1의 방식으로 해결하는 것

 

이라고 할 수 있으며 위 흐름으로 수업을 진행하였습니다.

 

그런 다음 교과용 도서를 아래와 같이 수학 도우미 학생이 친구들의 배움을 도와주는 방법으로 해결하였습니다. 또래교수의 의미와 방법을 수학 학습에 적용한 것으로 일반 교실에서도 한 번 적용해 볼 수 있습니다.

 

 



아에드 인 마이오렘 델 글로인